Metoda prądów oczkowych ze źródłem prądowym

[randall]

Nie wiem czy w odpowiednim dziale napisałem.. Mam takie bardzo (zapewne) proste pytanie dotyczące obliczania prądu w układzie metodą prądów oczkowych. Układ jak w załączniku. Nie wiem jak 'ująć' w równaniach źródło prądowe J.

Piszę tak:
I * (R1+R2) - II * R2 = E1-E2
-I * (R2+R3+R5) + II * R2 - III * R3 = E2
-II *R3 + III * (R3+R4) = -E3

Domyślam się, że trzeba jakoś wziąć pod uwagę wiadomą J, czyli prąd płynący w gałęzi R3. Tylko nie wiem jak Mógłby mi ktoś to wyjaśnić pokrótce?

Proszę o wyrozumiałość, jestem bardzo początkujący.

[tg3a]

Całkiem naturalnie: źródło prądowe wymusza przepływ określonego prądu, a więc w tym przypadku można napisać równanie (prąd oczka III) - (prąd oczka II) = (wydajność źródła prądowego). Ale równań bilansu spadku napięć i sił elektromotorycznych dla oczek II i III nie da się napisać, gdyż napięcie na zaciskach źródła prądowego może być dowolne. Zamiast tego trzeba napisać takie równanie dla "oczka" większego (obejmującego II i III łącznie, czyli kolejno elementy R5, E3, R4, trzeci amperomierz, drugi amperomierz, R2 i E2).
Tak więc mamy nadal 3 równania, ale są to:
- równanie dla oczka I
- równanie dla oczka II+III
- równanie dla źródła prądowego, o którym wspomniałem w 1-szym zdaniu.
Domyślam się, że wskazania amperomierzy są w tym zadaniu do zweryfikowania (inaczej nie trzeba byłoby liczyć prądów oczkowych, bo amperomierze są włączone tak, że akurat je wskazują), ale pewnie nie jest to wszystko, o co chodzi.
Czy już wszystko wyjaśniłem?
Pozdrowienia

[randall]

To mam równania:
I * (R1+R2) - II * R2 = E1 - E2.
II * (R2+R4+R5) + III * (R2+R4+R5) - I * R2 = E2 - E3
II * (R2+R3+R5) - III * (R3+R4) = J

Mógłbyś zweryfikować czy Cię dobrze zrozumiałem?

[tg3a]

Niestety, niezupełnie. Pierwsze równanie jest oczywiście dobre. Rozpatrzmy więc teraz w pierwszej kolejności trzecie równianie: powinno być III - II = J. Zauważ, że jak będziesz mnożył prądy przez rezystancje, to wynik wychodzi w woltach, i już z tego względu nie mogło być tak, jak napisałeś, bo po lewej stronie byłyby wolty, a po prawej ampery. Poza tym to prąd III ma kierunek zgodny ze źródłem J, a prąd II - przeciwny, więc znaki muszą być odwrotne w stosunku do twojej wersji.
Teraz przejdźmy do równania drugiego. W tym równaniu należy rozpatrzeć oczko, tak jak napisałem poprzednio, R5, E3, R4, trzeci amperomierz, drugi amperomierz, R2 i E2. W tym oczku prąd II płynie przez R2 i R5, prąd III płynie przez R4, a prąd I płynie przez R2 "pod prąd" (jeśli rozpatrujemy to oczko zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Tak więc lewa strona związana z prądami wygląda następująco: II * (R2+R5) + III * R4 - I * R2. Po prawej stronie związanej z siłami elektromotorycznymi w oczku mamy to, co napisałeś (E2 - E3).
Zadanie można też rozwiązać przyjmując inne prądy oczkowe, tak, aby jedno z oczek wygądało tak, jak oczko przeze mnie rozważane, czyli przykładowo prądy I i III zostają takie, jak narysowałeś, a prąd II rysujemy jako powiększone niepełne kółko ze strzałką zaczynające się np. w okolicy E2, potem przecinające gałąź (J , R3) i w okolicy E3 rozpoczynające "obejmowanie" prądu oczkowego III. Można byłoby w takiej sytuacji ewentualnie przekształcić schemat tak, by gałęzie (I , R3) oraz (E3 , R4) występowały w odwrotnej kolejności, i nie było potrzeby obejmowania jednego oczka przez drugie. Jeśli opis słowny jest niejasny, to mogę jutro (a właściwie już dziś) zrobić rysunek.

[randall]

Ja rozwiązuje te układy równań wzorami Cramera. Już rozumiem co miałeś na myśli robiąc to oczko "po całości" (II i III). I ok, mam 2 równania. Ale wciąż nie wiem jak ułożyć to trzecie. III - II = J, ale jak to podstawić do macierzy rezystancji? Hmm..

[tg3a]

Wydaje się, że jeśli chcesz mieć równania w postaci macierzowej z macierzą rezystancji, to muszą być tylko 2 równania i 2 niewiadome ( przykładowo I i II ), a tam, gdzie w drugim równaniu mamy III, należy podstawić II+J, oraz dokonać redukcji wyrazów podobnych i przenieść człony związane z J na prawą stronę jako wiadome.
Można też przyjąć, że macierz będzie mogła zawierać również wyrazy, które nie są rezystancjami, i wtedy nie ma problemu: J na prawą stronę, a po lewej stronie współczynniki 1 i -1.