analiza boost converter'a

[arnold90]

Witam Wszystkich

Aktualnie pracuję nad takim małym projekcikiem, który polega na analizie przetwornika DC/DC podwyższającego napięcie. Jedną z rzeczy, które muszę wykonać jest napisanie równań stanu. I tu mam problem z diodą i tranzystorem:

Nie jestem pewien co do tego jak je "podejść". Chodzą mi po głowie 2 pomysły:
- diodę i tanzystor zastąpić jakimiś funkcjami
- rozważyć 2 stany działania tj. tranzystor przewodzi i nie przewodzi, odpowiednio traktując diodę jako zwacie i przerwę

Dodam, że nie miałem wcześniej styczności z takimi elementami jeżeli chodzi o równania stanu.

Oczywiście nie liczę na gotowce, tylko wskazówki.

[tg3a]

Witam.
Zapewne mało wiem o niuansach działania przetwornic, ale jeśli chodzi o podstawową ideę, to myślę, że mogę trochę pomóc.
Pomysł z odrębnym rozpatrzeniem dwóch stanów działania jest bardzo dobry. Tak to się właśnie robi.
W pierwszym przybliżeniu można przyjąć, że w czasie, gdy tranzystor przewodzi (w praktyce można założyć, że stanowi zwarcie), dioda stanowi przerwę. Natomiast w drugim stanie to tranzystor stanowi przerwę, a dioda - zwarcie, ale tylko do czasu, dokąd kierunek prądu płynącego przez diodę jest zgodny z kierunkiem strzałki diody. Jeśli ten moment wystąpi przed ponownym zwarciem tranzystora, to pojawia się trzecia faza pracy przetwornicy, w której nie przewodzi ani tranzystor, ani dioda, i nie ma właściwie co analizować (występuje tylko rozładowywanie się kondensatora).
Na ogół też pojemność filtrująca jest na tyle duża, że można w pierwszym podejściu przyjąć, że napięcie na kondensatorze i rezystancji obciążenia jest praktycznie stałe. Aby to założenie było spełnione, musi jednak zgadzać się bilans ładunku wpływającego do kondensatora przez diodę w czasie jej przewodzenia, i wypływającego przez rezystor w całym okresie pracy przetwornicy. Z tego bilansu można wyliczyć wartość napięcia wyjściowego w stanie ustalonym. Ustalonym w tym sensie, że wartość średnia napięcia wyjściowego się nie zmienia z okresu na okres. Występują jednak niewielkie tętnienia tego napięcia (pominięte na wstępie), które można policzyć, wyznaczając, o ile spada napięcie na kondensatorze w czasie, gdy dioda nie przewodzi.
Kolejne uściślenia polegają na:
- uwzględnieniu spadku napięcia na diodzie w czasie jej przewodzenia (włącza się do modelu diody źródło napięciowe ok. 0,7V dla diod krzemowych zwykłych lub ok. 0,4V dla diod Shottky'ego)
- uwzględnieniu rezystancji szeregowej cewki i tranzystora polowego, oraz ewentualnie diody.
Mam nadzieję, że moje wskazówki będą przydatne. Czekam na informację o sukcesie, lub w razie problemów na prezentację dotychczasowych rozważań, i wskazanie, na czym polega trudność.
Pozdrowienia.

[arnold90]

Oto schemat ukazujący te 2 teoretyczne stany:



Tak się tylko zastanawiam, czy ogólny schemat nie jest za prosty, czy do takiej analizy nie powinienem czegoś dodać.

[tg3a]

Sądzę, że w pierwszym podejściu wystarczy, ew. można dodać napięcie przewodzenia diody. Przy dalszych uściśleniach trzeba dodać rezystancje szeregowe cewki i tranzystora polowego (które dla uzyskania wysokiej sprawności przetwornicy powinny być niewielkie, i tylko przy spełnieniu tego założenia w pierwszym podejściu można je pominąć).
Jako stany początkowe dla pierwszego schematu można przyjąć: prąd w cewce równy zeru, a napięcie na kondensatorze równe nieznanej na razie wartości Vout.
Jeśli Cfilt*Rl » okresu taktowania, to można przyjąć, że rozładowanie kondensatora filtrującego zachodzi według funkcji eksponcjalnej, która jest praktycznie liniowa, co jest konsekwencją faktu, że kondensator rozładowuje się praktycznie stałym prądem równym Vout/Rl.
Dla drugiego schematu stany początkowe są rzecz jasna takie, jakie wyjdą na zakończenie I fazy pracy przetwornicy. Rozładowanie kondensatora jest (przy spełnieniu warunku Cfilt*Rl » okresu taktowania) na tyle niewielkie, że w pierwszym przybliżeniu można przyjąć, iż napięcie wyjściowe jest nadal równe Vout.
W drugim przybliżeniu można przyjmować, że napięcie wyjściowe startuje od Vout+połowa amplitudy tętnień, a na zakończenie I fazy jest równe Vout-połowa amplitudy tętnień.
Druga faza pracy przetwornicy powinna zakończyć się odtworzeniem warunków początkowych I fazy, czyli zerowego prądu w cewce, i napięcia wyjściowego równego Vout +połowa amplitudy tętnień. Jeśli pomija się zmiany (tętnienia) napięcia wyjściowego, to zastępczo trzeba zbilansować ładunek dopływający i odpływający z kondensatora w całym okresie - powinny być sobie równe.
Z powyższych równości wynikną warunki na wielkość napięcia wyjściowego, lub na czasy trwania obu faz pracy przetwornicy.
To na razie tyle - czekam na odzew.

[arnold90]

Skonsultowałem się trochę i oto co można przyjąć:
- elementy są idealne tj. rezystancja diody = 0 itp
- jak najbardziej należy rozważać 2 przypadki

Oto równania stanu dla 2 przypadków, tranzystor otwarty:

diL/dt=E/L-Uc/L
dUc/dt=iL/C-Uc/C

tranzystor zamknięty:

diL/dt=E/L
DUc/dt=Uc/RC

iL - prąd w cewce
Uc - napięcie kondensatora

Teraz mam taki problem, muszę wyznaczyć punkty równowagi. Równania rozpatrywać jako 2 przypadki czy jeden układ 4 równań (punkt równowagi czyli dx/dt=0) Inny problem to w jaki sposób można by połączyć te 2 przypadki mając 4 równania stanu.

[tg3a]

Równania są prawie dobre z dwoma zastrzeżeniami.
W drugim (dla tranzystora otwartego) "zjadłeś" R. Powinno być:
dUc/dt=iL/C-Uc/RC
a w czwartym (dla tranzystora zamkniętego) brak jest minusa - powinno być:
dUc/dt=-Uc/RC
Nie można mówić w przypadku pracy przetwornicy o punktach równowagi - ja w każdym razie tak bym tego nie określał. Są to raczej punkty graniczne, w których trzeba się przerzucić z jednego schematu zastępczego na drugi.
Jeśli założymy, że punktem startowym jest dla nas początek stanu, gdy tranzystor jest zwarty, to możemy sobie przyjąć jakieś warunki początkowe dla prądu iL oraz napięcia Uc. Oznaczmy je przez iLmax i Ucmin, lub, jak kto woli, przez iL0 i Uc0. Następnie trzeba rozwiązać układ równań różniczkowych przyjęty dla tego stanu pracy, i wyznaczyć rozwiązanie spełniające przyjęte warunki początkowe.
W praktyce zmienność napięcia Uc jest niewielka (pojemność kondensatora jest przyjmowana na tyle duża, żeby tak było, bo zależy nam zwykle na małym napięciu tętnień). Pozwala to zrobić uproszczenie Uc=const ułatwiające znalezienie rozwiązania. Później można amplitudę tych niewielkich tętnień policzyć. Ale, jeśli w tym zadaniu takie podejście jest niedopuszczalne, to trudno.
Wracając do znalezionego rozwiązania (uproszczonego lub też bardziej ścisłego - piszę "bardziej", bo cały czas jest to tylko model, i nadal ma prawo odbiegać od rzeczywistości), przyrównujemy wartość prądu iL do zera w celu znalezienia wartości czasu, przy której to się dzieje. W tym momencie czasowym schemat z rozwartym tranzystorem i zwartą diodą przestaje obowiązywać. Trzeba wyliczyć, ile w tym momencie wynosi wartość Uc - będzie to warunek początkowy dla zastosowania schematu ze zwartym tranzystorem i rozwartą diodą. Wartość początkowa prądu iL będzie dla tego schematu wynosiła, rzecz jasna, zero.
Następnie rozwiązujemy układ równań różniczkowych dla przypadku tranzystora zwartego - tu jest prościej, bo właściwie są to dwa odrębne równania, niepowiązane ze sobą.
Powyższe warunki początkowe wykorzystujemy do wyznaczenia rozwiązań, które je spełniają. Następnie trzeba wyznaczyć czas, po którym prąd iL narośnie z powrotem do wartości przyjętej na początku (iLmax czy też iL0).
Podstawiając ten czas do rozwiązania na Uc uzyskamy również wartość końcową napięcia, która powinna być równa Ucmin czy też Uc0. Oczywiście ogólnie rzecz biorąc nie będzie - oznacza to, że przetwornica nie jest w stanie ustalonym, i napięcie na wyjściu przykładowo z okresu na okres narasta (tak się dzieje w rzeczywistości w okresie tuż po uruchomieniu przetwornicy). Ale w stanie ustalonym końcowa wartość napięcia powinna być równa wartości początkowej, i z tego warunku możemy wyznaczyć Ucmin (Uc0), oraz wartość Ucmax (nie pisałem o tym, ale jest to wartość końcowa napięcia dla stanu z rozwartym tranzystorem, i początkowa dla stanu z rozwartym tranzystorem). Podejrzewam, że takie wyznaczenie napięcia w sposób analityczny jest trudne (z braku czasu jeszcze tego nie robiłem, a z okresu studiów nie pamiętam), i to może być ewentualnie argumentem za zastosowaniem podejścia uproszczonego.
Czekam na dalsze wyniki, i ewentualne pytania.

[arnold90]

Może małe pytanko, bo mam pewną wątpliwość. Czy portret fazowy dla tej przetwornicy powinien tak wyglądać?

http://obrazki.elektroda.net/20_1266408305.jpg

Jak powiększę środek, to widać wyraźnie spiralę. Na osiach jest napięcie kondensatora i prąd cewki. Środek spirali jest mniej więcej w punkcie, gdzie w stanie ustalonym wielkości wcześniej wymienione osiągają wartości dla stanu ustalonego. A wyniki wziąłem z symulacji dla zerowych warunków początkowych.

Jeżeli chodzi o punkty równowagi, to miałem na myśli tzw Equilibrium Points.

[tg3a]

Witaj.
Wygląda na to, że jest sensownie. Proces początkowego ładowania kondensatora jest prawidłowy - na początku przy zwartym tranzystorze prąd cewki rośnie przy jeszcze zerowym napięciu na kondensatorze, potem przy rozwartym tranzystorze kondensator ładuje się przez cewkę, a ponieważ napięcie kondensatora jest jeszcze mniejsze od napięcia zasilającego, to prąd cewki również rośnie. Przy okazji widać, że u Ciebie spadek prądu w fazie rozwarcia tranzystora zaczyna być widoczny przy napięciu na kondensatorze rzędu 200V - stąd podejrzewam, że przyjąłeś napięcie zasilania rzędu 150...200V.
"Dziwny" hak na wykresie pochodzi najprawdopodobniej stąd, że zapewne symulowałeś zmiany obciążenia - początkowo jakieś niewielkie (nie jestem pewien, czy nawet nie zerowe), a potem skokowo dołączyłeś coś dodatkowo. Nie wiem jeszcze, co się stało, co spowodowało pojawienie się tej "kulki", która po powiększeniu, o ile rozumiem, jest spiralą. Albo jest to jakaś dalsza cykliczna zmiana obciążenia w trakcie symulacji, albo zmieniłeś częstotliwość kluczowania tranzystora.
Ale tak, czy inaczej, sądzę, że wykres fazowy wskazuje na prawidłowość modelu matematycznego (oczywiście z wszelkimi zastrzeżeniami co do jego dokładności/precyzji). A w każdym razie nie wskazuje w oczywisty sposób na jego błędność.
Co do punktów równowagi, to oczywiście dla stanu rozwartego tranzystora jest to Uc=E i iL=E/R (jeśli pominąć napięcie przewodzenia diody), a dla stanu zwartego tranzystora, aby się dało określić punkt równowagi, należy uwzględnić rezystancję tranzystora w stanie włączonym oraz rezystancję cewki (oznaczając łączną rezystancję przez Rw mamy iL=E/Rw), oraz Uc=0. Ale przetwornica pracuje daleko od punktów równowagi - i w moim przekonaniu one tylko wyznaczają punkt docelowy zmian prądu i napięcia w poszczególnych stanach tranzystora, ale po drobnym kroczku po odpowiedniej trajektorii w kierunku danego punktu następuje przełączenie tranzystora, i "podróż" po zupełnie innej trajektorii w kierunku zupełnie innego punktu równowagi, też tylko o drobny kroczek, i tak w kółko.
W rzeczywistości, po dojściu do stanu ustalonego wykres fazowy sprowadza się do dwóch odcinków łukowatych tworzących linię zamkniętą, obieganą w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara (przy przyjęciu takiego układu współrzędnych, jak na Twoim wykresie).
Pozdrawiam, i w miarę potrzeby służę dalszymi objaśnieniami.

[arnold90]

stąd podejrzewam, że przyjąłeś napięcie zasilania rzędu 150...200V.
"Dziwny" hak na wykresie pochodzi najprawdopodobniej stąd, że zapewne symulowałeś zmiany obciążenia - początkowo jakieś niewielkie (nie jestem pewien, czy nawet nie zerowe), a potem skokowo dołączyłeś coś dodatkowo. Nie wiem jeszcze, co się stało, co spowodowało pojawienie się tej "kulki", która po powiększeniu, o ile rozumiem, jest spiralą. Albo jest to jakaś dalsza cykliczna zmiana obciążenia w trakcie symulacji, albo zmieniłeś częstotliwość kluczowania tranzystora.

Napięcie zasilania to 200 V. Obciążenie to rezystor 50 Ω. Współczynnik wypełnienia oraz częstotliwość załączania stałe.
Ciekawe co wyjdzie jak zasymuluję nie zerowe warunki początkowe.

Co do punktów równowagi, to oczywiście dla stanu rozwartego tranzystora jest to Uc=E i iL=E/R (jeśli pominąć napięcie przewodzenia diody), a dla stanu zwartego tranzystora, aby się dało określić punkt równowagi, należy uwzględnić rezystancję tranzystora w stanie włączonym oraz rezystancję cewki (oznaczając łączną rezystancję przez Rw mamy iL=E/Rw), oraz Uc=0.

Właśnie z prądem cewki dla "zamkniętego" tranzystora mam problem. Bo wychodzi, że E/L=0 czyli sprzeczność. Można założyć tę rezystancję, o której wspominałeś. Tylko jak to będzie się miało do założenia, że elementy w obwodzie są idealne. Generalnie w symulowanym obwodzie dodałem do gałęzi z tranzystorem rezystor 10 mΩ z powodu sposobu symulowania tego obwodu w moim programie. Po prostu sposób w jaki program działa wymagał dodania rezystora. Więc ewentualnie liczyć dla takiej rezystancji?

Inna sprawa to to, że muszę wykonać portret fazowy. Tylko jak najlepiej, 3 wersje?
- otwarty tranzystor
- zamknięty tranzystor
- symulacja "pełna" czyli portret jak wyżej, plus celowo zmieniane raz pojemność raz indukcyjność celem otrzymania grupy portretów na jednym wykresie.

[tg3a]

Wracając do kwestii punktu równowagi dla przypadku zwartego tranzystora, to wydaje się, że dla idealnych elementów po prostu on nie istnieje. Rodzinę krzywych fazowych w tym przypadku tworzy rodzina funkcji logarytmicznych zmierzających asymptotycznie do osi Uc=0, przy prądzie iL zmierzającym do nieskończoności. Przy czym formalnie są możliwe punkty startowe tych krzywych nie tylko w pierwszej ćwiartce, ale również i w czwartej, natomiast ze względu na obecność diody, która wraz z tranzystorem zwiera napięcia ujemne kondensatora, nie są możliwe punkty startowe w lewej półpłaszczyźnie (II i III ćwiartka).
Trudniej jest z rodziną krzywych fazowych dla przypadku tranzystora rozwartego. Chyba nie podejmę się pełnej analizy, ze względu na brak czasu, ale trochę mogę dorzucić. Przede wszystkim kształt tych krzywych musi zależeć od dobroci obwodu RLC, jaki powstałby, gdyby źródło zasilające i diodę zastąpić zwarciami. Dla Q>0,5 krzywe te będą składały się z odcinków spirali logarytmicznych owijających się wokół punktu równowagi dla rozwartego tranzystora, czyli (E, E/R). Te spirale muszą być jakoś ucięte poniżej osi iL=0, bo dioda uniemożliwia przepływ prądu ujemnego (ogólnie, rodzina krzywych fazowych dla rozwartego tranzystora jest ograniczona do ćwiartki I oraz teoretycznie również i II). Wygląda na to, że kontynuacją każdej takiej spirali będzie poziomy odcinek dochodzący do punktu (E, 0), a następnie dioda zaczyna ponownie przewodzić, i rozpoczyna się podróż po spirali logarytmicznej startującej w punkcie (E, 0) - o ile jest taka spirala.
Ponieważ wiadomo, że odpowiedź obwodu dla przypadku dobroci Q≤0,5 jest aperiodyczna, spirale w tym opisie muszą zmienić się w coś innego, ale "z marszu", bez głębszej analizy nie potrafię stwierdzić w co.
Wszystkie te analizy portretu fazowego mają znaczenie czysto teoretyczne - ponieważ zakładają, że stan tranzystora kluczującego jest niezmienny. Jeśli było wymaganie, by je przedstawić, to zrób to. Ale w praktyce, przy cyklicznym kluczowaniu tranzystora, rzeczywista krzywa fazowa przetwornicy składa się po prostu z odcinków powyższych krzywych, "posklejanych" naprzemian.
Ciekawy z jednej strony jest wygląd całej fazy startu, czyli to, co zrobiłeś, a z drugiej strony - wygląd krzywej fazowej dla stanu ustalonego, czyli należałoby w programie symulacyjnym jakoś włączyć rysowanie wykresu dopiero po upływie jakiegoś dostatecznie długiego odcinka czasu lub cykli kluczowania (trzeba po prostu sprawdzić, kiedy rysowany wykres przestanie być zamazany, a stanie się tylko pojedynczą linią zamkniętą - o ile się nie mylę, będzie to coś przypominające soczewkę skupiającą w przekroju, i to obustronnie wypukłą).
Pozdrawiam, i życzę powodzenia.

[arnold90]

Zgodnie z zaleceniami sprawdziłem stabilność tych Equilibrium points. Dla stanu "otwartego" tranzystora. Stabilność sprawdzałem poprzez linearyzację Macierzą Jacobiego. Wartości własne tej macierzy to λ=50 ±+ 5773,3j . Teoretycznie punkt równowagi nie jest stabilny, taka spirala "na zewnątrz". Możliwe to jest?

[tg3a]

Witam.
Długo się nie odzywałem, ale musiałem trochę odświeżyć swoją wiedzę na temat macierzy i stabilności opisywanych nimi układów.
Gdyby wartości własne były takie, jak napisałeś, rzeczywiście świadczyłoby to o niestabilności układu, bo część rzeczywista jest dodatnia. Ale najwyraźniej musiałeś popełnić błąd.
Równania stanu dla tranzystora rozwartego to:
diL/dt=E/L-Uc/L
dUc/dt=iL/C-Uc/(RC)
Współczynniki macierzy pochodnych cząstkowych (oznaczmy ją przez A) są równe:
0 -1/L
1/C -1/(RC)
Równanie charakterystyczne tej macierzy to det(λ*I-A)=0, gdzie I oznacza macierz jednostkową, co daje:
λ(λ+1/(RC))+1/(LC)=0
Część rzeczywista obu pierwiastków tego równania kwadratowego (czyli wartości własnych macierzy) jest ujemna, a więc układ jest stabilny.
Pisząc poprzednio, że trajektorie fazowe tego układu są spiralami logarytmicznymi, popełniłem błąd. Są to (dla Δ<0, co odpowiada dobroci Q>0,5) spirale logarytmiczne spłaszczone skośnie, a w dodatku, ze względu na dowolność doboru skali jednostek prądu i napięcia, mogą być też dodatkowo spłaszczone w pionie lub poziomie. Ale ze względu na to, że układ jest stabilny, spirale nawijają się do środka - do punktu równowagi.
I oczywiście, tak jak pisałem poprzednio, dioda przewodzi tylko dla iL>0, a jak to wpływa na zachowanie się trajektorii fazowych, pisałem poprzednio.
Pozdrawiam.

[arnold90]

Co do punktów równowagi masz rację, błąd popełniłem przy współczynniku -1/RC - 'zjadłem' minusa. I teraz elegancko wychodzi, że stabilna spirala. Poniżej parę wykresów jako ciekawostka:

powiększony fragment z wcześniejszego wykresu:


portret dla różnych warunków początkowych:


portret dla różnych wartości pojemności:


portret dla różnych wartości indukcyjności:

[tg3a]

Ładne rysunki. A czy da się w tym programie zrobić wykres trajektorii fazowej rozpoczynający się dla czasu 1,5 sekundy lub może nawet więcej od początku symulacji? Wtedy przetwornica powinna już pracować praktycznie w stanie ustalonym. (Ogólnie ten czas zwłoki w rozpoczęciu kreślenia powinien być z grubsza pięciokrotnie większy od 2*R*C).
Pozdrawiam.